一个象棋问题的扩展


遇到一个有趣的象棋问题,如图:

象棋

图中所示红黑双方棋子数相同,但除了可以上下移动炮之外,所有棋子的移动空间都被相互锁死。 红棋最终取胜策略是用两个红炮将黑炮纵向可移动空间封死。

取胜

要想最终到达如上图红胜状态,如果红黑双方都尽最大努力博弈,从结果返推,红棋第一步最优应该走炮七进二,即使五路和七路的红黑炮之间的间距相等。 返推过程是,黑棋两个炮任一在无路可走的情况下向后只走1步。

按照这个“红黑炮”问题进行扩展:

设有\(n\)路红黑炮,中间间隔为\(\{x_1, \ldots, x_n\}\),且有\(x_1 \lt x_2 \lt\ldots\lt x_n\)这时红棋取胜的走法是什么?

\(n=1\)时,起手红执第\(1\)路炮向前走\(x_1\)。

\(n=2\)时,起手红执第\(2\)路炮向前走\((x_2 - x_1)\)步,此时\(x_2' = x_1\)。

当\(n=3\)时,红棋先选哪一路炮有说法,因为最后取胜时候,所有路最后长度为\(\{1,2,3\}\)。所以,当\(\{x_1, x_2, x_3\}\)分别为\(\{3, 4, 5\}\)时,红可以走\(1\)路,使\(x_1'=1\),从而使得\(x_1' = x_3-x_2\),不可以走第\(3\)路,因为无论第\(3\)路如何走,黑方都有方法应对。如果\(x_3' = 1\),则黑走\(2\)路使得\(x_2' = 2\)取胜。

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标签: 象棋  象棋问题  中
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